Thuyết tương đối rộng hay thuyết tương đối tổng quát (General Relativity) là lý thuyết hình học của lực hấp dẫn do nhà vật lý Albert Einstein công bố vào năm 1915 và hiện tại được coi là lý thuyết miêu tả hấp dẫn thành công của vật lý hiện đại. Thuyết tương đối tổng quát thống nhất thuyết tương đối hẹp và định luật vạn vật hấp dẫn của Newton, đồng thời nó miêu tả lực hấp dẫn (trường hấp dẫn) như là một tính chất hình học của không gian và thời gian, hoặc không thời gian. Đặc biệt, độ cong của không thời gian có liên hệ chặt chẽ trực tiếp với năng lượng và động lượng của vật chất và bức xạ. Liên hệ này được xác định bằng phương trình trường Einstein, một hệ phương trình đạo hàm riêng phi tuyến.
Nhiều tiên đoán và hệ quả của thuyết tương đối rộng khác biệt hẳn so với kết quả của vật lý cổ điển, đặc biệt khi đề cập đến sự trôi đi của thời gian, hình học của không gian, chuyển động của vật thể khi rơi tự do và sự lan truyền của ánh sáng. Những sự khác biệt như vậy bao gồm sự giãn thời gian do hấp dẫn, thấu kính hấp dẫn, dịch chuyển đỏ do hấp dẫn của ánh sáng, và sự trễ thời gian do hấp dẫn. Mọi quan sát và thí nghiệm đều xác nhận các hiệu ứng này cho tới nay. Mặc dù có một số lý thuyết khác về lực hấp dẫn cũng được nêu ra, nhưng lý thuyết tương đối tổng quát là một lý thuyết đơn giản nhất phù hợp các dữ liệu thực nghiệm. Tuy thế, vẫn còn tồn tại những câu hỏi mở, căn bản nhất như các nhà vật lý chưa biết làm thế nào kết hợp thuyết tương đối rộng với các định luật của vật lý lượng tử nhằm tạo ra một lý thuyết đầy đủ và nhất quán là thuyết hấp dẫn lượng tử.
Lý thuyết của Einstein có nhiều ứng dụng quan trọng trong vật lý thiên văn. Nó chỉ ra trực tiếp sự tồn tại của lỗ đen – những vùng của không thời gian trong đó không gian và thời gian bị uốn cong đến mức ngay cả ánh sáng cũng không thể thoát ra được – một trạng thái cuối cùng của các ngôi sao khối lượng lớn. Có rất nhiều nguồn bức xạ mạnh phát ra từ một vài loại thiên thể cố định dựa trên sự tồn tại của lỗ đen; ví dụ, các microquasar và nhân các thiên hà hoạt động thể hiện sự có mặt của tương ứng lỗ đen khối lượng sao và lỗ đen có khối lượng khổng lồ. Sự lệch của tia sáng do trường hấp dẫn làm xuất hiện hiệu ứng thấu kính hấp dẫn, trong đó nhiều hình ảnh của cùng một thiên hà hiện lên qua ảnh chụp. Thuyết tương đối tổng quát miêu tả các tính chất của sóng hấp dẫn mà đã được xác nhận một cách trực tiếp bởi nhóm Advanced LIGO. Hơn nữa, thuyết tương đối rộng còn là cơ sở cho các mô hình vũ trụ học hiện tại về sự đang giãn nở không ngừng của vũ trụ.
Tương đối tính:
Với đối xứng Lorentz, chúng ta có thêm những cấu trúc mới. Chúng được xác định bằng tập hợp nón ánh sáng (xem hình bên trái). Các nón ánh sáng cho phép định nghĩa cấu trúc nhân quả: đối với mỗi sự kiện A, về nguyên lý có một tập các sự kiện, hoặc ảnh hưởng đến A hoặc bị ảnh hưởng bởi A thông qua tín hiệu hoặc tương tác mà không vượt quá tốc độ ánh sáng (như sự kiện B trong hình), và một tập các sự kiện không thể liên quan được đến A (như sự kiện C trong hình). Tập này gọi là tập những quan sát viên độc lập. Khi gắn với tuyến thế giới (world-lines) của hạt rơi tự do, chúng ta sử dụng nón ánh sáng nhằm khôi phục lại mêtric nửa-Riemannian của không thời gian, ít nhất đối với số hạng vô hướng dương. Theo thuật ngữ toán học, quá trình này xác định lên cấu trúc bảo giác.
Các thí nghiệm cũng chỉ ra rằng thời gian đo bởi những đồng hồ trong trường hấp dẫn — thời gian riêng, thuật ngữ của vật lý học — không tuân theo các định luật của thuyết tương đối hẹp (hàm ý thời gian bị cong). Trong ngôn ngữ của hình học không thời gian, nó không được đo bằng mêtric Minkowski. Như trong trường hợp lực hấp dẫn Newton, điều này gợi ra lý thuyết tương đối rộng cần một hình học tổng quát để miêu tả. Ở quy mô nhỏ, mọi hệ quy chiếu rơi tự do đều tương đương với nhau và miêu tả xấp xỉ bằng mêtric Minkowski. Hệ quả là, chúng ta sẽ cần phải tổng quát hình học Minkowski thành hình học các không gian cong. Tenxơ mêtric xác định lên cấu trúc hình học — đặc biệt nó cho phép đo độ dài và góc — khác với mêtric Minkowski của thuyết tương đối hẹp, nó là mêtric tổng quát của mêtric đa tạp giả-Riemann. Hơn nữa, mỗi mêtric Riemann được kết hợp một cách tự nhiên với một loại liên thông đặc biệt, liên thông Levi-Civita, và thực tế liên thông này thỏa mãn nguyên lý tương đương và làm cho không thời gian của thuyết tương đối tổng quát trên phương diện cục bộ giống với không thời gian Minkowski (có nghĩa là khi chọn hệ tọa độ quán tính cục bộ phù hợp, tenxơ mêtric của thuyết tương đối rộng trở thành tenxơ mêtric Minkowski, cũng như đạo hàm riêng bậc nhất và các hệ số liên thông triệt tiêu - tương đương với không có trường hấp dẫn ở hệ tọa độ cục bộ này). Tenxơ mêtric thể hiện tính động lực của hình học không thời gian, nó cho thấy vật chất ảnh hưởng lên hình học như thế nào cũng như sự xuất hiện của nó trong phương trình chuyển động của hạt thử
\begin{itemize}
\item Trong không thời gian Minkowski phẳng, với hệ toạ độ \( x^\mu \to \left( x^0, x^1, x^2, x^3 \right) = \left( ct, x, y, z \right) \), một trong những bất biến Lorentz là "khoảng không thời gian" giữa hai sự kiện:
\[ \Delta s^2 = -c^2 \Delta t^2 + \Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2 = -c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2 = \eta_{\mu\nu} dx^{\mu} dx^{\nu} \]
Nếu \( ds^2 < 0 \) thì hai sự kiện nằm trên tuyến thế giới (world line) kiểu thời gian (time-like), và mọi sự kiện thực có liên hệ nhân quả với nhau – một sự kiện nằm trong nón ánh sáng của sự kiện kia sẽ nằm trên đường kiểu thời gian.
Nếu \( ds^2 > 0 \) thì hai sự kiện nằm trên tuyến thế giới kiểu không gian (space-like), đây là khoảng không thời gian giữa hai sự kiện mà một sự kiện nằm ngoài nón ánh sáng của sự kiện kia.
Nếu \( ds^2 = 0 \) thì hai sự kiện nằm trên tuyến thế giới không (null-world line), hay chúng nằm trên đường đi của ánh sáng.
Bất biến Lorentz là đại lượng không đổi khi chúng ta chuyển từ hệ toạ độ này sang hệ toạ độ khác.
Tensor metric Minkowski là
với dấu metric \( (-, +, +, +) \). Trong thuyết tương đối rộng, các tensor metric \( g_{\mu\nu} \) thay thế cho tensor \( \eta_{\mu\nu} \) và vẫn đảm bảo đại lượng \( ds^2 = g_{\mu\nu} dx^\mu dx^{\nu} \) là bất biến Lorentz cục bộ.
Đồng thời, tensor metric cho phép nâng và hạ chỉ số của các tensor khác. Các phương trình vật lý viết dưới dạng phương trình tensor có một thuận lợi là dạng của nó không thay đổi khi chúng ta chuyển sang hệ tọa độ khác bất kỳ (thể hiện cho tính hiệp biến tổng quát và nguyên lý tương đương Einstein).
\end{itemize}
Phương trình trường Einstein
Tuy đã nhận ra được hình học Riemann là công cụ toán học cần thiết nhằm mô tả các hiệu ứng hấp dẫn, chúng ta còn cần phải xác định thêm những nguồn của trường hấp dẫn. Trong mô hình hấp dẫn Newton, nguồn hấp dẫn là khối lượng. Trong thuyết tương đối hẹp, khối lượng là một thành phần trong đại lượng tổng quát hơn là tenxơ năng lượng–động lượng, bao gồm mật độ năng lượng và mật độ động lượng cũng như ứng suất (bao gồm áp suất và lực cắt). Tenxơ năng lượng–động lượng không chứa năng lượng của trường hấp dẫn.[32] Nếu nguồn hấp dẫn trong thuyết tương đối rộng chỉ là khối lượng-năng lượng, thì chúng ta cần phải lựa chọn ưu tiên một hệ quy chiếu quán tính và do đó đòi hỏi tồn tại một hệ quy chiếu quán tính toàn cục, điều này là không được phép trong thuyết tương đối tổng quát. Nhờ nguyên lý tương đương Einstein, ngoài khối lượng, năng lượng thì ứng suất cũng trở thành một nguồn cho trường hấp dẫn. Và tenxơ ứng suất–năng lượng ngay lập tức tổng quát cho không thời gian cong và trở thành tenxơ miêu tả mật độ nguồn cho trường hấp dẫn. Để cho phép thu về trường hợp giới hạn của lực hấp dẫn Newton cổ điển, một cách tự nhiên chúng ta giả thiết rằng phương trình trường hấp dẫn liên hệ tenxơ ứng suất–năng lượng hạng hai với một tenxơ độ cong hạng hai gọi là tenxơ Ricci, tenxơ này có ý nghĩa vật lý miêu tả một trường hợp đặc biệt của hiệu ứng thủy triều: nó cho biết sự thay đổi thể tích của một đám nhỏ hạt thử ban đầu đứng yên tương đối với nhau, và sau đó rơi tự do trong trường hấp dẫn. Trong thuyết tương đối hẹp, định luật bảo toàn năng lượng–động lượng tương ứng với phương trình toán học là phân kỳ của tenxơ ứng suất–năng lượng phải bằng 0 (hay tự do). Công thức này cũng được tổng quát hóa sang cho không thời gian cong bằng cách thay thế đạo hàm riêng thông thường theo các trục tọa độ của đa tạp cong bằng đạo hàm hiệp biến của các tọa độ, đạo hàm này được nghiên cứu trong hình học vi phân. Các định luật bảo toàn phải luôn thỏa mãn ở phạm vi cục bộ — hay là phân kỳ hiệp biến của tenxơ mật độ ứng suất–năng lượng bằng 0, và do vậy phân kỳ hiệp biến của vế bên kia phương trình trường - vế cho biết độ cong cục bộ của không thời gian - cũng phải bằng 0. Ban đầu, Einstein nghĩ rằng vế hình học này chỉ có tenxơ Ricci (phân kỳ hiệp biến của tenxơ này khác 0), nhưng sau đó ông phát hiện ra phương trình trường cần phải tuân theo định lý phân kỳ hiệp biến tự do - và ông đã tìm ra dạng phương trình đơn giản nhất tuân theo định lý này, mà ngày nay gọi là Phương trình trường Einstein:
\[R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu\nu} = \dfrac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu\nu}\]
Vế trái của phương trình là \textbf{tensor Einstein}, phản kỳ hiệp biến của tensor này bằng 0. Tensor này là tổ hợp của \textbf{tensor Ricci} \( R_{\mu\nu} \) và tensor metric \( g_{\mu\nu} = g^{\mu\nu} \). Đặc biệt
\[R = g^{\alpha\beta} R_{\alpha\beta}\]
là độ cong vô hướng Ricci, với \( g^{\alpha\beta} \) có thể coi là các phần tử của \textbf{ma trận nghịch đảo} của ma trận có phần tử \( g_{\alpha\beta} \). Tensor Ricci liên hệ với \textbf{tensor độ cong Riemann} \( R^\alpha_{\mu\beta\nu} \) thông qua phép thu gọn chỉ số:
\[R_{\mu\nu} = R^{\alpha}_{\mu\alpha\nu}\]
Mặt khác, hệ số liên thông (hay \textbf{ký hiệu Christoffel}, nó không phải là tensor) có thể được tính từ tensor metric:
\[\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu} = \dfrac{1}{2} g^{\alpha\beta} \left( \partial_{\nu} g_{\beta\mu} + \partial_{\mu} g_{\beta\nu} - \partial_{\beta} g_{\mu\nu} \right)\]
và tensor độ cong Riemann (miêu tả độ cong nội tại cục bộ của không thời gian) bằng
\[R^{\alpha}_{\mu\beta\nu} = \partial_{\beta} \Gamma^{\alpha}_{\mu\nu} - \partial_{\nu} \Gamma^{\alpha}_{\mu\beta} + \Gamma^{\alpha}_{\beta\lambda} \Gamma^{\lambda}_{\mu\nu} - \Gamma^{\alpha}_{\nu\lambda} \Gamma^{\lambda}_{\mu\beta}\]
ở đây \( \partial_{\nu} = \dfrac{\partial}{\partial x^{\nu}} \) là đạo hàm riêng. Trong thuyết tương đối rộng, tensor độ xoắn bằng 0, do đó hệ số Christoffel có tính đối xứng:
\[\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu} = \Gamma^{\alpha}_{\nu\mu}\]
cũng như tensor Ricci \( R_{\mu\nu} = R_{\nu\mu} \).
Trên vế phải của phương trình trường, \( T_{\mu\nu}\) là tensor mật độ ứng suất–năng lượng. Định luật bảo toàn năng lượng–động lượng cục bộ tương đương với phân kỳ hiệp biến (\textit{đạo hàm hiệp biến}) của nó:
\[\nabla_\beta T^{\alpha\beta} = T^{\alpha\beta}_{\ ;\beta} = 0\]
Tensor Einstein
\[G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu\nu}\]
và
\[\nabla_{\nu} G^{\mu\nu} = G^{\mu\nu}_{\ ;\nu} = 0\]
Tài liệu tham khảo
- Wikipedia tiếng Việt. Thuyết tương đối rộng. Xem tại đây
- Wikipedia tiếng Anh. General Relativity. Xem tại đây
- Thư Viện Vật Lý. Chuyên đề Thuyết tương đối. Xem tại đây
- Thư Viện Vật Lý. Chuyên đề Thuyết tương đối rộng. Xem tại đây
- KhoaHoc.tv. Lược sử Thuyết tương đối. Xem tại đây
- David Tong. General Relativity Lecture Notes. Tải PDF
- Bernard Schutz. A First Course in General Relativity. Tải PDF
- Cambridge University Press. General Relativity: An Introduction for Physicists. Xem tại đây
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét