Hình 1: Hai lỗ đen đang kết hợp nhau
Trong vật lý, nhiệt động lực học lỗ đen là chuyên ngành nghiên cứu nhằm làm các định luật nhiệt động lực học tương thích với sự tồn tại của chân trời sự kiện lỗ đen. Sau khi việc nghiên cứu cơ học thống kê của bức xạ vật đen dẫn đến sự hình thành lý thuyết cơ học lượng tử, nỗ lực để hiểu được bản chất cơ học thống kê của lỗ đen đã có ảnh hưởng lớn lên cái nhìn về hấp dẫn lượng tử, dẫn đến sự hình thành của nguyên lý toàn ký.
Entropy Beknstein-Hawking được đưa vào lỗ đen cốt lõi để du nhập lỗ đen vào nhiệt động lực học và ta có thể sử dụng được nguyên lí 1 và 2 của nhiệt động học.
Vì sao cần entropy lỗ đen? Có thể tính được entropy của lỗ đen không?
Có nhiều lí do để tìm entropy của lỗ đen (Bekenstein 1972-1973):
Lỗ đen (Black Hole) được hình thành từ co sụp (collapse) của vật chất hoặc từ bức xạ, cả hai phạm trù này đều mang entropy. Song nội vùng lỗ đen bị che dấu đối với người quan sát bên ngoài. Gán entropy cho lỗ đen giúp mở cửa sở vào nhiệt động học.
Một lỗ đen được mô tả bởi một số thông số: khối lượng, điện tích, mômen góc,... Như vậy, có nhiều phương án mô tả các trạng thái nội tại của lỗ đen.
Nhiệt động học sẽ làm điều đó: nhiều trạng thái vi mô nội tại sẽ cho trạng thái vĩ mô quan sát được. Và ta cần điều đó để thiết lập entropy cho lỗ đen.
Chân trời sự cố đã che giấu các thông tin từ lỗ đen. Chúng ta biết entropy là độ đo các thông tin từ lỗ đen. Vì vậy, lỗ đen cần một entropy.
Hình 2: Entropy Bekenstein-Hawking của lỗ đen
Công thức cho entropy lỗ đen
Entropy này phải phụ thuộc vào khối lượng, điện tích, momen góc. Các thông số này phải được đi kèm với diện tích lỗ đen (surface area). Ta biết là diện tích chân trời sự cố lỗ đen luôn luôn tăng.
Hình 3: Các thông số của lỗ đen
Như vậy, Entropy Beknstein - Hawking \(S_{BH}\) (dùng thứ nguyên và nhiệt động học):
$$\dfrac{S_{BH}}{k_B}=\dfrac{A}{4L_P^2}=\dfrac{c^3A}{4G\hbar}$$
trong đó:
\(A\): diện tích của chân trời sự cố
\(L_P\): chiều dài Planck
\(G\): Hằng số hấp dẫn Newton
\(\hbar\): Hằng số Plack rút gọn
\(k_B\): Hằng số Boltzmann
Công thức này nối liền hấp dẫn, nhiệt động học và lượng tử. Khác với entropy thông thường tỉ lệ với thể tích, entropy lỗ đen tỉ lệ với diện tích \(A\). Công thức này do Bekenstein và Hawking tìm ra.
Đối với Black Hole Schwarzschild, bán kính chân trời sự cố là:
$$r_h=\dfrac{2GM}{c^2};\ A=16\pi \left( \dfrac{GM}{c^2}\right)^2$$
trong trường hợp tổng quát Kerr-Newman BH (lỗ đen quay), có thông sẽ là \(M\), điện tích \(Q\) và mômen góc \(J\); chân trời sự cố không còn là cầu nữa. Lúc này ta sẽ có:
$$r=r_h\equiv\dfrac{GM}{c^2}\sqrt{\left(\dfrac{GM}{c^2} \right)^2-\dfrac{GQ^2}{c^4}-\left(\dfrac{J}{Mc} \right)^2}$$
và từ đó diện tích chân trời sẽ bằng:
$$A=\int_{0}^{\pi}d\theta\int_{0}^{2\pi}d\varphi\sqrt{g_{\theta\theta}g_{\varphi\varphi}}=4\pi \left[ r_h^2+\left(\dfrac{J}{Mc}\right)^2\right]$$
Chú ý nếu có hai lỗ đen kết hợp với nhau thì khối lượng tổng cộng có thể tính như sau:
Khối lượng cuối cùng của lỗ đen kết hợp phụ thuộc vào định nghĩa khối lượng trong lí thuyết tương đối tổng quát.
Nếu xét khối lượng Bondi \(M_B\) thì dùng công thức:
$$\dfrac{dM_B}{dU}=-f(U)$$
trong đó: \(f(U)\) là thông lượng sóng hấp dẫn tại thời điểm \(U\), còn \(f\) là một tích phân diện tích.
Nếu xét khối lượng Arnowit-Deser-Misner (ADM) thì dùng công thức:
$$M_{ADM}=M_g(U)+\int_{-\infty}^U F(V)dV$$
biểu diễn khối lượng cộng với bức xạ hấp dẫn.
Nguyên lí 1 nhiệt động học:
$$TdS=dE-dW$$
trong đó, \(W\) là công tác động liên hệ bởi các yếu tố bên ngoài.
Nguyên lí 2 nhiệt động học
Nguyên lí 2 đòi hỏi Entropy luôn tăng. Ở đây, ta có nguyên lí 2 tổng quát hoá: Tổng entropy thông thường \(S_0\) ngoài BH và entropy toàn phần của BH không giảm.
$$\Delta S_0+\Delta S_{BH}\ge 0$$
Những vấn đề liên quan đến Entropy của lỗ đen
Trong cơ học thống kê thông trường \(S\) (entropy) là độ đo các trạng thái vi mô ẩn sau một trạng thái vĩ mô. Ta đã biết công thức \(S=\ln W\), trong đó \(W\) số các trạng thái vi mô. \(S\) đóng vai trò tương tự trong BH, vậy các trạng thái vi mô trong BH là gì?
Entropy BH là số trạng thái trong (internal) của vật chất và hấp dẫn. Các thông số \(M, J, Q\) có thể hình thành nhiều cách, đó là các trạng thái nội tại vật chất và hấp dẫn - các trạng thái vi mô.
Entropy BH là entropy các liên đới lượng tử giữa các bậc tự do trong và ngoài BH. Đối với người quan sát bên ngoài các bậc tự do trong không thể thấy được. Các tính toán của Bombelli et al.1986, Srednicki 1993 cho thấy rằng những liên đới lượng tử đó tỉ lệ với diện tích chân trời sự cố (horizon area).
Entropy BH có liên quan đến số trạng thái hay kích thích của dây cơ bản (fundamental string) trong lí thuyết dây (string theory). Dây có nhiều loại kích thích như vậy có nhiều trạng thái của dây. Suskind 1993 đã tìm ra mối liên hệ một một giữa các trạng thái của BH và dây. Strominger và Vafa 1996 đã mô tả điều đó trong BH 5 chiều. Vì vậy entropy BH có thể hiểu entropy của dây.
Đối ngẫu AdS/CFT cho thấy Entropy của BH trong không gian Anti-de-Sitter là bằng bức xạ nhiệt (thermal radiation) của trường trên biên.
Kết luận
Bekenstein và Hawking đã tìm ra công thức entropy của lỗ đen. Kết quả này mở ra một cửa sổ cho lỗ đen vào nhiệt động học và giúp chúng ta hiểu thêm nhiều về các trạng thái vi mô của lỗ đen, mối quan hệ của lỗ đen với lí thuyết dây và với đối ngẫu AdS/CFT.
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét