Hình: Trạng thái ngưng tụ Bose-Einstein của các boson, trong trường hợp này là các nguyên tử rubidi. Hình vẽ là phân bố tốc độ của chuyển động của các nguyên tử, theo vị trí. Màu đỏ chỉ nguyên tử chuyển động nhanh, màu xanh và trắng chỉ nguyên tử chuyển động chậm. Trái: trước khi xuất hiện ngưng tụ Bose-Einstein. Giữa: ngay sau khi ngưng tụ. Phải: trạng thái ngưng tụ xuất hiện rõ hơn. Ở trạng thái ngưng tụ, rất nhiều nguyên tử có cùng vận tốc và vị trí (cùng trạng thái lượng tử) nằm ở đỉnh màu trắng.
Người ta xét một hệ gồm \(N\) hạt ở nhiệt độ siêu lạnh, nhiệt độ của condensate. Trong năm trạng thái (khí, lỏng, rắn, plasma, BEC) của vật chất thì BEC có lẽ là trạng thái chứa nhiều điều lí thú nhất. BEC là trạng thái vật chất của một hệ boson làm lạnh đến nhiệt độ gần độ không tuyệt đối \(0K \) hay \(-273,15^{\circ}C\). Ở nhiệt độ đó hầu hết các boson sẽ chiếm trạng thái thấp nhất và ở đấy xuất hiện các hiện tượng lượng tử vi mô.
BEC được phát hiện năm 1924-25 bởi Satyendra Nath Bose và Einstein về mặt lí thuyết. Năm 1995, khí ngưng tụ đầu tiên được tạo ra bởi nhóm của Eric Cornell và Carl Wieman, họ làm lạnh khí nguyên tử Rubidi đến nhiệt độ 170 nanokelvin.
Sự chuyển pha dẫn đến ngưng tụ Bose Einstein xuất hiện ở dưới nhiệt độ giới hạn, đối với khí phân bố 3 chiều của hệ hạt không tương tác mà không có bậc tự do nội tại trong nó, được cho bởi công thức:
$$T_c=\left( \dfrac{n}{\zeta(3/2)}\right)^{\frac{2}{3}}\dfrac{2\pi \hbar^2}{mk_B}\approx 3,3125.\dfrac{\hbar^2n^{\frac{3}{2}}}{mk_B}$$
trong đó:
\(T_c\) là nhiệt độ giới hạn
\(n\) là mật độ hạt
\(m\) là khối lượng của từng Boson
\(\zeta\) là hàm Zeta Riemann với \(\zeta(3/2)\approx 2,6124\).
Ta sử dụng một BEC với sự hiện diện của \(l\)- chiều dư compact của lý thuyết dây (String theory) với kích thước \(l_p\) (độ dài Planck). Không-thời gian của chúng ta có \(s-\) chiều không compact. Hạt xem như bị giam giữ trong một hộp có thế năng với hình học của hệ là: một hình siêu ellipsoid \(l-\) chiều (compact) và một bẫy điều hòa trong không -thời gian \(s-\) chiều (non compact).
Nhiệt dung có một bước nhảy (discontinuity) tại nhiệt độ tới hạn \(T_c\) và bước nhảy này lại là hàm của số chiều. Các tác giả chúng minh rằng bước nhảy đó của khí bosonic sẽ là hàm của số nguyên tử có mặt trong chất khí \(N\) trong giả định có \(s=\) số chiều không compact thông thường và \(l=\) số chiều compact (theo lí thuyết dây).
Các chiều dư và chất khí boson
Ý tưởng chính là sử dụng bước nhảy (discontinuity) của nhiệt dung trong BEC tại nhiệt độ ngưng tụ vốn làm hàm số của các chiều dư \(l\) để đối chiếu với thực nghiệm.
Gọi \(R_j\) kích thước của các chiều compact (kích thước cỡ \(l_p-\) độ dài Planck như trong lí thuyết dây), gọi \(\omega_i\) là tần số của vùng harmonic ứng với các chiều không compact \(s\).
Đây là một bài toán cơ học lượng tử bình thường, ta có
$$\varepsilon=\hbar \left[\omega_1\left( n_1+\dfrac{1}{2}\right)+...+\omega_s\left( n_s+\dfrac{1}{2}\right) \right]+\dfrac{\pi^2\hbar^2}{2m}\left[\dfrac{q_1^2}{R_1^2}+...+\dfrac{q_l^2}{R_l^2} \right]$$
Trong công thức trên \(n_j) và \(q_j\) là các số lượng tử gắn liền với thế năng dao động tử điều hoà trong trường hợp một hạt bị giam giữ trong một hộp kích thước \(R_j\).
Nhiệt dung được tính theo công thức:
$$C_{\tilde{\omega}}=\left(\dfrac{\partial E}{\partial T} \right)_{(\tilde{\omega}, N)}$$
với \(\tilde{\omega}\) và \(N=\) constant, trong đó \(\tilde{\omega}\) là trung bình hình học của các tần số.
Bước nhảy nhiệt dung được định nghĩa như sau:
$$C_{\(\tilde{\omega}\)}=\lim_{T\rightarrow T_{C^+}}C_{\(\tilde{\omega}\)} -\lim_{T\rightarrow T_{C^-}}C$$
Kết quả được như sau:
$$\Delta C_{\(\tilde{\omega}}=-Nk\left(s+\dfrac{l}{2} \right)^2\left[ \dfrac{\zeta (s+l/2)}{\zeta(s+l/2-1)}-\dfrac{\mu_c}{(s+l/2)kT_c}\right]$$
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét