Bức xạ Hawking (Hawking radiation), một kết quả quan trọng của thuyết lượng tử, hiện nay đã được tiếp cận ở khía cạnh khác nhờ sử dụng hiện tượng xuyên hầm lượng tử (quantum tunneling). Tiếp cập mới này mở ra nhiều khả năng tính toán chính xác hơn hơn phổ bức xạ và tạo nhiều yếu tố mới nhằm làm sáng tỏ nghịch lí mất thông tin (information loss paradox) trong lỗ đen.
Mở đầu
Lỗ đen là hệ quả lý thuyết của Einstein. Năm 1970, Hawking chứng minh rằng lỗ đen không là tuyệt đối đen. Các tính toán của Hawking dựa trên lí thuyết trường và không gian không gắn liền với hiện tượng đường hầm lượng tử.
Năm 1990, Parikh và Wilczek xét bức xạ Hawking dưới quan điểm đường hầm lượng tử. Và điều quan trọng là rào cản (barrier) trên đường hầm lại được nên bởi chính hạt đang xuyên qua đường hầm. Họ sử dụng phương pháp xấp xỉ WKB (Wentzel-Kramers-Brillouin) và xác suất quá trình được tính toán trong xấp xỉ bán cổ điển (semi-classical). So sánh xác suất bức xạ với thừa số Boltzmann có thể suy ra nhiệt độ Hawking. Kết quả cho thấy rằng phổ bức xạ không thuần tuý là phổ nhiệt (thermal spectrum), song hạng số chủ đạo trùng với bức xạ chuẩn Hawking, nghĩa là phổ bức xạ của vật đen.
Lúc đầu các tính toán được thực hiện cho hạt không khối lượng, sau đó các phép tính được mở rộng cho hạt có khối lượng có điện tích trong lỗ đen đối xứng cầu (lỗ đen Schwarzschild) và lỗ đen có điện tích (lỗ đen Reissner-Nordstrom). Kết quả cho thấy rằng xác suất bức xạ phụ thuộc vào khối lượng \(m\) và điện tích \(q\) của hạt, còn nhiệt độ bức xạ gắn liền với điện tích song quy về nhiệt độ Hawking khi \(q\longrightarrow 0\). Sau đó các nhà vật lí xét đến bức xạ Hawking xuyên hầm trong không - thời gian không giao hoán (Non commutative).
Bức xạ Hawking
Bức xạ Hawking là bức xạ nhiệt giả thuyết của những Vật Đen được giải phóng bên ngoài ranh giới của đường chân trời sự kiện của Lỗ Đen (Black Hole).
Bức xạ Hawking được mô tả làm giảm khối lượng và năng lượng xoay của lỗ đen, dẫn đến giả thuyết về sự bay hơi dần của Lỗ Đen, vì thế những Lỗ Đen nào không đủ khối lượng được dự đoán sẽ co lại dần và tiêu biến.
Với lỗ đen Schwarzschild (không tích điện, không quay), nhiệt độ của lỗ đen tỉ lệ nghịch với khối lượng:
$$T_H=\dfrac{\hbar c^3}{8\pi GMk_B}$$
trong đó: \(T_H\) là nhiệt độ của lỗ đen
\(M\): khối lượng lỗ đen
\(\hbar=\dfrac{h}{2\pi}\): hằng số Plack rút gọn
\(G\): hằng số hấp dẫn
\(c\approx3.10^8 m/s\) tốc độ ánh sáng trong chân không
\(k_B\) hằng số Boltzmann
Bức xạ Hawking xuyên hầm, trường hợp không khối lượng, không điện tích
Trong tiếp cận bức xạ Hawking xuyên hầm có hai điểm cần lưu ý:
Phổ bức xạ không còn là phổ nhiệt (thermal) Hawking - Bekenstein
Định luật bảo toàn năng lượng được sử dụng
Bức xạ Hawking có thể hình dung như những hạt xuyên hầm (tunneling) qua đường chân trời. Song rào cản trên đường hầm xuất hiện như thế nào?
Trong tiếp cận này người ta chứng minh rằng rào cản phụ thuộc vào chính ngay hạt đang chui hầm. Chìa khoá vấn đề là phải đưa vào định luật bảo toàn năng lượng, như vậy lỗ đen chui dần trong quá trình bức xạ. Trong tiếp cận cổ điển nếu lỗ đen không cho phép điều gì thoát ra ngoài thì lỗ đen phải lớn dần lên (vì nuốt vật chất bên ngoài). Hawking đã chứng minh trong tiếp cận lượng tử thì lỗ đen luôn bức xạ (bức xạ Hawking), vậy lỗ đen phải mấy năng lượng, nhỏ dần và cuối cùng là bốc hơi hoàn toàn.
Một vật nếu xét theo quan điểm cổ điển ổn định nhưng theo quan điểm lượng tử là không ổn định thì vật ấy phải trải nghiệm hiện tượng chui hầm.
Hawking cho rằng bức xạ có nguyên nhân ở các thăng giáng lượng tử chân không ở gần chân trời (horizon). Trong cặp hạt sinh ra thì hạt có năng lượng âm sẽ bị hố đen hút vào, vậy khối lượng lỗ đen giảm đi, trong khi hạt có năng lượng dương thoát ra ngoài vô cực tạo nên bức xạ Hawking.
Trong phương pháp KWB, xác suất xuyên hầm gắn liền với phần ảo của hàm tác động (action) của một quỹ đạo bị cấm trong tiếp cận cổ điển (ý nói trong cổ điển khi độ cao của rào cản lớn hơn năng lượng của hạt thì hạt không thể vượt qua rào cản được nhưng trong cơ học lượng tử thì hạt có thể vượt qua rào cản nhờ có hiện tượng xuyên hầm: \(\Gamma\sim \exp{-2\Im I} \), trong đó \(I=\) hàm tác động của quỹ đạo của hạt.
Vì sao lại tồn tại rào cản và rào cản lại được tạo nên bởi bản thân các hạt đang đi xuyên qua hầm?
Điểm mấu chốt là định luật bảo toàn năng lượng. Khi lỗ đen bức xạ thì năng lượng của nó hao đi. Với lỗ đen thì năng lượng và bán kính có mối liên hệ với nhau. Chân trời lùi lại (recede) khỏi bán kính cũ để về một bán kính nhỏ hơn. Và độ co này phụ thuộc vào chính năng lượng của hạt bay đi. Bán ban ban đầu và bán kính sau nhỏ hơn sẽ cho ta hai điểm hồi quy, hay nói cách khác tạo nên rào cản. Như vậy, rào cản được tạo nên bởi chính hạt bay ra, hạt đang đi xuyên qua hầm trên cơ sở định luật bảo toàn năng lượng. Từ đó ta tính được \(\Im{I}\) của hạt bay ra. Để tiếp tục ta phải tìm một metric không có điểm kỳ dị tại đường chân trời vì các sự cố sẽ xảy ra trên đường chân trời.
Metric thoả mãn điều kiện đó là Metric Painlevé và Gullstrand:
$$ds^2=-\left( 1-\dfrac{2M}{r}\right) dt^2+2\sqrt{\dfrac{2M}{r}}drdt+dr^2+r^2 d\Omega_2^2$$
Metric này không có kì dị tại đường chân trời và không có sự phụ thuộc tường minh vào thời gian, mỗi lát cắt tại \(t=\text{constant}\) là một không gian Euclide.
Ta có: $$\Im{I}=\Im{\int_{r_{in}}^{r_{out}}pdr}$$
trong đó\(p=\) xung lượng, \(r_{in}=2M=\) bán kính ban đầu của lỗ đen, \(r_{out}=2(M_E)\) bán kính sau cùng của lỗ đen, \(E=\) năng lượng ban đầu của hạt bay ra. Như vậy ta thấy hai điểm quy hồi \(2M\) và \(2(M-E\) phụ thuộc vào năng lượng \( E\) của hạt. Và bề dày giữa hai điểm đó là vùng cấm mà hạt phải đi xuyên qua. Đó chính là rào cản.
Tưởng chừng như trong phương pháp KWB xác suất chui qua rào là:
$$\Gamma \sim \exp{-2\Im{I}}\approx\exp{\beta E}$$
trong đó \(\exp{(-2\beta)}=\) hệ số Boltzmann, \(\beta =1/T=\) nghịch đảo nhiệt độ. Những phép tính chính xác hàm tác động của một hạt chui qua rào trong đối xứng cầu lại cho kết quả sau đây:
$$\Gamma\sim \exp\left[-8\pi ME\left(1-\dfrac{E}{2M} \right) \right]$$
Nếu bỏ qua đại lượng \(E/2M\) ta có lại biểu thức nhiệt độ do Hawking tìm ra. Có thể nói rằng bức xạ Hawking chính là những hạt xuyên qua hầm lượng tử và đồng thời biểu thức nhiệt độ của Hawking được chứng minh.
Một điều đáng chú ý ở đây là chúng ta có sử dụng định luật bảo toàn năng lượng và điều này dẫn đến hiệu chỉnh \(\dfrac{E}{2M}\) và như vậy chứng minh thêm được rằng phổ không phải hoàn toàn là phổ nhiệt (thermal spectrum).
Chú ý là các lí lẽ về mất thông tin từ lỗ đen dựa trên phổ nhiệt thuần tuý và sự lệch khỏi phổ nhiệt có thể mở đường cho việc xét lại sự mất thông tin trong lỗ đen, công việc này đang được các nhà vật lý tiếp tục nghiên cứu.
Chú ý rằng đại lượng hiệu chính \(\dfrac{E}{2M}\) có thể viết dưới dạng:
$$\Gamma \sim \exp{\Delta S}$$
trong đó \(\Delta S=\) biến thiên entropy Bekenstein-Hawking của lỗ đen.
Lí thuyết lượng tử cho ta biết rằng \(\Gamma\) bằng bình phương biên độ nhân cho thừa số không gian pha, còn không gian pha bằng tổng trên các trạng thái cuối và trung bình trên các trạng thái đầu. Và đối với lỗ đen ta có công thức rút ra được:
$$\rho(\omega)=\dfrac{d\omega}{2\pi}\dfrac{|T(\omega)|^2}{e^{+8\pi M\omega }-1}$$
trong đó: \(|T(\omega)|^2=\) hệ số chuyển phụ thuộc vào tần số cho một hạt bay ra vô cực.
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét