Topo là môn học nghiên cứu hình dạng của một không gian về các mặt cơ bản nhất, đó là tính liên thông (connectedness), tính liên tục (continuity) và các biên (boundary). Những tính chất này bất đối với các phép biến đổi liên tục gồm các biến đổi như kéo dài, uốn cong mà không bao gồm các phép biến đổi như xé rách (tearing) hoặc dán dính (gluing).
Topo toán học nghiên cứu các tính chất biến đổi nhảy vọt từng bước, giống như số lỗ trong một đa tạp. Topo là nội dung cơ bản trong các phát hiện của các nhà Vật lí đoạt giải Nobel 2016, họ đã giải thích được vì sao điện trở trong các lớp mỏng biến đổi từng lớp nguyên.
Thế nào là pha topo (topological phase)?
Pha vật lý được xác định bởi trật tự của pha đó. Trật tự topo khác với trật tự thông thường như thế nào?
Trước năm 1980, người ta dùng lý thuyết Landau: khi đối xứng thay đổi thì chúng ta có chuyển pha, như vậy trật tự thông thường ứng với đối xứng. Ở nhiệt độ cao entropy chế ngự và dẫn đến một trạng thái mất trật tự. Ở nhiệt độ thấp, năng lượng áp đảo entropy dẫn đến một trạng thái có trật tự.
Năm 1980, người ta tìm thấy một trật tự mới ngoài trật tự gắn liền với phá vỡ đối xứng đó là trật tự topo (topological order). Như chúng ta biết trong hiệu ứng Hall lượng tử nguyên (IQHE - Integer quantum Hall effect), trở Hall \(R_H\) lấy những trị số nguyên. Ta sẽ thấy trật tự topo có thể giải thích được sử lượng tử hoá đó trong IQHE.
Trong một pha với trật tự topo, tồn tại hàm xác định bởi một đại lượng bất biến topo (topological invariant). Bất biến topo là đại lượng không thay đổi vì nhưngx biến đổi liên tục (continuous deformation).
Đại lượng bất biến topo đó là những đại lượng nào?
Các bất biến topo trong vật lí là những tích phân một đại lượng hình học nào đó trên một mặt (vùng Brillouin-Brillouin zone)
Ví dụ xét mặt kín
Hình 4: ví dụ mặt kín
Tích phân mặt (area integral) của độ cong trên toàn mặt bị lượng tử hoá là một bất biến topo (Gauss-Bonnet theorem):
$$\int_M kdA=2\pi \chi=2\pi (2-2g)$$
trong đó \(g\) là số lỗ và \(g=0\) (mặt cầu), \(g=1\) (hình xuyến), \(g=n\) đối với hình xuyến \(n\) lỗ.
Chuyển pha topo tương tự việc chuyển topo từ một lỗ thủng \(n=1\) sang topo hai lỗ thủng \(n=2\) (chú ý số lượng thủng là số nguyên). Cũng giống như hiệu ứng Hall nguyên, điện trở nhảy từng bước một, giá trị điện trở nhảy từ 1 sang 2,...
Trong trật tự topo người ta chú ý đến hiện tượng liên đới tầm xa (long range entanglement). Như vậy, một điều đáng chú ý là topo nghiên cứu các tính chất của toàn bộ một hệ. Tương tự trong vũ trụ học, việc nghiên cứu địa phương (local) bằng các phương trình Einstein không quyết định được vũ trụ hữu hạn hay vô hạn. Muốn nghiên cứu đầy đủ vũ trụ cần nghiên cứu topo của vũ trụ.
Cơ sở lí thuyết
Trong lí thuyết chuyển pha topo có một khái niệm quan trọng là các cuộn xoáy như các cuộn xoáy Abrikosov
Hình . Bên trái: cấu hình cuộn xoáy đơn, bên phải: cấu hình cuộn xoáy và phản cuộn xoáy. Góc \(\theta\) mô tả bởi hướng của các mũi tên.
Trong các hệ hai chiều nói trên spin nằm trong một mặt phẳng \(XY\). Trong các magnet, hướng từ được mô tả bởi góc \(\theta\) (góc quay xung quanh trục \(Z\).) Trong siêu dẫn và siêu chảy thì thông số trật tự (phức) được mô tả bởi hàm:
$$\Psi=\sqrt{\rho_S}e^{i\theta}$$
trong đó \(\rho_S\) là mật độ còn \(\theta\) là pha. Chú ý vì magnet phẳng và siêu chảy siêu dẫn được mô tả cùng bởi góc \(\theta\) cho nên người ta gọi chúng là cùng lớp phổ quát (universality class). Hamilton của các hệ này là:
$$H_{XY}=-J\sum_{\braket{ij}}\cos{(\theta_i-\theta_j)}$$
trong đó \(\braket{ij}\) chỉ các điểm lân cận.
Chuyển pha Kosterlitz-Thouless trên mặt \(XY\)
Hàm Hamilton:
$$H_{XY}=\dfrac{J}{2}\int d^2 r\left(\nabla \theta (\vec{r}) \right)$$
Một cuộn xoáy như hình 5 sẽ ứng với một đại lượng cuộn xoáy (vorticity)
$$\nu=\dfrac{1}{2\pi}\int_C d\vec{r}\cdot \nabla \theta (\vec{r})$$
trong đó đường cong tích phân \(C\) sẽ bao bọc lấy cuộn xoáy. Tích phân mô tả độ quay toàn phần của vector spin dọc theo đường cong.
Năng lượng tự do của một cuộn xoáy là:
$$F=E-TS=J\pi \ln\left( \dfrac{L}{a}\right)-Tk_B\ln\left(\dfrac{L^2}{a^2} \right)$$
trong đó \(L\) là kích thước của hệ, \(k_B\) là hằng số Boltzmann.
Hình: Chuyển pha topo, không phá vỡ một đối xứng nào cả
Vì thế cho nên ở nhiệt độ tới hạn \(T_{KT}=J\pi/2k_B\) năng lượng cân bằng với entropy, các cặp cuộn xoáy sẽ tách ra và ta sẽ có pha các cuộn xoáy tự do. X+Các chuyển pha KT không phá vỡ một đối xứng nào cả.
Trở Hall lượng tử và lí thuyết topo
Một minh hoạ sử dụng topo là xét đến hiệu ứng Hall lượng tử nguyên:
$$\sigma_H=n\dfrac{e^2}{h}$$
trong đó \(n\) là số nguyên. Thouless và đồng nghiệp đã suy ra công thức cho trở Hall làm bộc lộ tính topo của vấn đề.
Xung lượng \(k\) trong tinh thế lấy những trị số trong vùng Brillouin thứ nhất và hàm số ở mức Landau thứ \(n\) có dạng \(u_{\vec{k},n}\left( \vec{r}\right)\). Công thức được đưa ra như sau:
$$\sigma_H=\dfrac{e^2}{2\pi h}\sum_n \int_{\vec{k}\in BZ}d^2kB(\vec{k},n)$$
trong đó tích phân lấy theo xung lượng vùng BZ = Brillouin zone, \(B\) là cường độ trường Berry (Berry field strength) và:
$$\dfrac{1}{2\pi}\int_{BZ}B(\vec{k},n)=C_1(n)$$
trong đó \(C_1\) là số Chern (số nguyên). Điều này chứng tỏ rằng trở Hall bị lượng tử hoá và trở này vô cảm đối với mọi loại nhiễu loạn trật tự hay tương tác giữa các hạt. Số Chern là một đại lượng bất biến topo và là những số nguyên. Sử dụng các hàm sóng tường minh trong bài toán Landau người ta có thể tính được tích phân và tìm ra \(C_1=1\) đối với mọi mức Landau đầy.
SKYRMION TỪ
Trong vật lý skyrmion từ là những vòng xoáy (vortex) mô tả những á hạt (quasiparticle) được tiên đoán bằng lý thuyết và sau đó được quan sát bằng thực nghiệm trong những hệ môi trường đông đặc.
Hình 4 .Trên đường của một bộ nhớ từ sự vắng mặt hay có mặt của một skyrmion (màu đỏ) có thể mã hóa một bit.
Nhà vật lý Albert Fert (CNRS,Palaiseau,Nobel 2007) phát hiện từ trở khổng lồ (magnétorésistance géante) đã nói skyrmion làm liên tưởng đến topo của hình Mobius. Skyrmion là một cấu hình spin (moment magnetique) của một hệ nguyên tử có topo như Mobius, cấu hình không thay đổi được nếu áp dụng quá ít năng lượng .Các spin hướng xuống dưới ở tâm và các spin hướng lên trên ở biên hoặc ngược lại.Hướng của các moment từ thay đổi liên tục từ tâm ra ngoài làm thành một vòng xoáy (vortex) --> do tương tác spin-quỹ đạo.
Hình 5.Bên trái là hình Mobius, bên phải là trường vector của skyrmion từ 2-chiều
Trên hình vẽ ta thấy spin chuyển từ hướng xuống phía dưới tại tâm thành hướng lên phía trên ở ngoài biên.
Kết luận
Topo như chúng ta đã thấy quả đã cung cấp một cách nhìn mới đối với các hạt trong vật lý môi trường đông đặc :siêu dẫn , siêu chảy,hiệu ứng lượng tử Hall, xích spin, cách điện topo (insulant topological), skyrmion từ,…
Topo còn giúp các nhà vật lý nghiên cứu và chế tạo nhiều vật liệu mới.
Các kết quả sử dụng topo vào vật lý môi trường đông đặc của J.Michael Kosterlitz, David J,Thouless và Duncan Haldane xứng đáng với giải Nobel Vật lý 2016 và là một phát hiện mới của vật lý trong thế kỷ 20.
Tài liệu tham khảo
- Nobel Prize. (2016). Topological Phase Transitions and Topological Phases of Matter. PDF
- von Klitzing, K. (1986). The Quantized Hall Effect. Reviews of Modern Physics, 58(3), 519–531. Link
- Nakahara, M. (2003). Geometry, Topology and Physics (2nd ed.). Taylor & Francis.
- Kosterlitz, J. M., & Thouless, D. J. (1973). Ordering, metastability and phase transitions in two-dimensional systems. Journal of Physics C, 6(7), 1181. Link
- Chaikin, P. M., & Lubensky, T. C. (1995). Principles of Condensed Matter Physics. Cambridge University Press.
- Ren, Y., Qiao, Z., & Niu, Q. (2015). Topological Phases in Two-Dimensional Materials: A Brief Review. arXiv:1509.09016. Link
.png)
